Encontre solução geral para as EDO.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que a gente tem aqui:
para
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, especificamente a forma linear. Precisamos manipular a equação para aplicar o método do fator integrante e, assim, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear. A forma geral é:
Nossa equação é
. Para chegar na forma padrão, vamos dividir todos os termos por
(como
, isso é válido):
Rearranjando, temos:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante (
) que nos ajudará a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Simplificando mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante qualquer.