Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse tipo de equação é chamada de EDO de primeira ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação. Está na forma padrão
, onde aqui temos
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para simplificar.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Com o fator integrante, o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre solução geral para as EDO.
;
Resolva a integral
utilizando integração por partes.
Substitua e
na fórmula de integração por partes.
Substitua
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
® .
®
Determine um fator integrante e resolva.
.