Resolva as seguintes EDO não homogêneas. y' - y = 3 e^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse tipo de equação é chamada de EDO de primeira ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar usar um fator integrante, que nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes na equação. Está na forma padrão , onde aqui temos e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:
Esse fator vai multiplicar toda a equação para simplificar.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Com o fator integrante, o lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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