Encontre a solução geral das EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes e uma parte não homogênea. Para resolver, vamos precisar usar o método da Solução Geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da EDO igualada a zero:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos por , o que nos leva a:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Assim, as soluções são:

Passo 4

Com os valores de , a solução geral da equação homogênea é dada por:
Substituindo e :
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Vamos tratar cada termo do lado direito separadamente: , e .

Passo 6

Para o termo :
Como já aparece na solução homogênea ( ), precisamos multiplicar por para obter uma solução particular:
Para o termo :
Da mesma forma, também está na solução homogênea, então multiplicamos por :
Para o termo :
Assumimos uma solução particular da forma:

Passo 7

Vamos agora calcular as derivadas necessárias e substituir na EDO para encontrar os coeficientes , , e .
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos .
Para :
Seguindo o mesmo processo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos .
Para :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos e .

Passo 8

Agora, juntando todas as soluções particulares:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
(a)
(b)
©
(d)
Considere a EDO
Encontre a solução quando .
Represente os intervalos dados na reta real.
(a)
(b)
©
(d)