Encontre a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes e uma parte não homogênea. Para resolver, vamos precisar usar o método da Solução Geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte esquerda da EDO igualada a zero:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos
por
, o que nos leva a:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Assim, as soluções são:
Passo 4
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Substituindo
e
:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Vamos tratar cada termo do lado direito separadamente:
,
e
.
Passo 6
Para o termo
:
Como
já aparece na solução homogênea (
), precisamos multiplicar por
para obter uma solução particular:
Para o termo
:
Da mesma forma,
também está na solução homogênea, então multiplicamos por
:
Para o termo
:
Assumimos uma solução particular da forma:
Passo 7
Vamos agora calcular as derivadas necessárias e substituir na EDO para encontrar os coeficientes
,
,
e
.
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos
.
Para
:
Seguindo o mesmo processo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos
.
Para
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na EDO:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos
e
.
Passo 8
Agora, juntando todas as soluções particulares:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Considere a EDO
Encontre a solução quando
.
Represente os intervalos dados na reta real.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)