Considere a EDO
Encontre a solução quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício nos deu. A equação é:
Queremos encontrar a solução dessa EDO que passa pelo ponto , ou seja, quando , . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações exatas e fator integrante, que são ferramentas que ajudam a simplificar e resolver equações diferenciais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais reconhecível. Vamos organizar os termos para identificar as funções que acompanham e :
Agora, identificamos:

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Calculando:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos buscar um fator integrante que depende apenas de . A fórmula para isso é:
Calculando o numerador:
Dividindo por :
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Para resolver uma equação exata, buscamos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 7

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Então, a função potencial é:
Usando a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:

Exercícios relacionados

Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores .
Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
(a)
(b)
©
(d)
Encontre a solução geral das EDOs: