Considere a EDO
Encontre a solução quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que o exercício nos deu. A equação é:
Queremos encontrar a solução dessa EDO que passa pelo ponto
, ou seja, quando
,
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações exatas e fator integrante, que são ferramentas que ajudam a simplificar e resolver equações diferenciais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais reconhecível. Vamos organizar os termos para identificar as funções que acompanham
e
:
Agora, identificamos:
Passo 3
Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Calculando:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos buscar um fator integrante que depende apenas de
. A fórmula para isso é:
Calculando o numerador:
Dividindo por
:
Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Para resolver uma equação exata, buscamos uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Então, a função potencial é:
Usando a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial
é:
Exercícios relacionados
Determine e esboce as superfícies de nível da função
para os valores
.
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Encontre a solução geral das EDOs: