Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que a gente tem aqui:
A matéria que vamos precisar é EDO de primeira ordem, e para resolver isso, a gente vai usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para deixar
isolado. Vamos somar
dos dois lados:
Passo 3
Agora, dividimos ambos os lados por
para deixar
sozinho:
Passo 4
Observamos que essa equação é separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos fazer isso multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos separar as variáveis corretamente. Vamos trazer todas as expressões com
para o lado esquerdo e as com
para o lado direito:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Podemos decompor a fração:
Mas, uma forma mais simples é reconhecer que:
Agora, fracionamos:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
.
Portanto, a integral fica:
A integral do lado direito é:
Passo 7
Igualando as integrais, temos:
Podemos simplificar exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante real arbitrária.
Exercícios relacionados
Encontre o domínio da função.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Descreva as áreas das regiões indicadas como uma integral dupla (não é necessário calcular)
e
e as retas
e
Dê exemplo de uma Função contínua num ponto (a , b), mas não diferenciável em (a, b)
Considere a EDO
Encontre o fator integrante
.