Dê exemplo de uma Função contínua num ponto (a , b), mas não diferenciável em (a, b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar um exemplo de uma função que seja contínua em um ponto específico, digamos , mas que não seja diferenciável nesse mesmo ponto. Isso envolve entender dois conceitos principais: continuidade e diferenciabilidade de funções em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite dela quando se aproxima de é igual ao valor da função em . Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso significa que não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se a derivada dela existe naquele ponto. A derivada basicamente nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Se a função tem uma “quina” ou um “canto” no ponto, a derivada não existe ali.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar uma função que seja contínua em um ponto, mas que tenha uma “quina” nesse mesmo ponto, fazendo com que não seja diferenci��vel ali. Um exemplo clássico disso é a função valor absoluto.

Passo 5

Vamos considerar a função . Vamos analisar a continuidade e diferenciabilidade dela no ponto .

Passo 6

Primeiro, verificamos a continuidade em :
Portanto, a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Calculamos a derivada pela direita e pela esquerda:
Como as derivadas laterais são diferentes ( ), a derivada em não existe.

Passo 8

Assim, a função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto devido à diferença nas derivadas laterais.

Resposta

Um exemplo é a função valor absoluto , que é contínua em mas não diferenciável nesse ponto.

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Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem:
Encontre o domínio da função.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Considere a EDO
Encontre o fator integrante .
Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas e são contínuas em I.