Dê exemplo de uma Função contínua num ponto (a , b), mas não diferenciável em (a, b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dar um exemplo de uma função que seja contínua em um ponto específico, digamos
, mas que não seja diferenciável nesse mesmo ponto. Isso envolve entender dois conceitos principais: continuidade e diferenciabilidade de funções em um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite dela quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso significa que não há “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre diferenciabilidade. Uma função é diferenciável em um ponto se a derivada dela existe naquele ponto. A derivada basicamente nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto. Se a função tem uma “quina” ou um “canto” no ponto, a derivada não existe ali.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar uma função que seja contínua em um ponto, mas que tenha uma “quina” nesse mesmo ponto, fazendo com que não seja diferenci��vel ali. Um exemplo clássico disso é a função valor absoluto.
Passo 5
Vamos considerar a função
. Vamos analisar a continuidade e diferenciabilidade dela no ponto
.
Passo 6
Primeiro, verificamos a continuidade em
:
Portanto, a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Calculamos a derivada pela direita e pela esquerda:
Como as derivadas laterais são diferentes (
), a derivada em
não existe.
Passo 8
Assim, a função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto devido à diferença nas derivadas laterais.
Resposta
Um exemplo é a função valor absoluto
, que é contínua em
mas não diferenciável nesse ponto.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem:
Encontre o domínio da função.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Considere a EDO
Encontre o fator integrante
.
Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas
e
são contínuas em
I.