Considere a EDO
Encontre o fator integrante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para a gente encontrar o fator integrante
. Basicamente, um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a EDO “exata”, ou seja, facilita a resolução. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo diferencial e como trabalhar com EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para deixar tudo mais claro. A equação dada é:
Podemos organizar isso na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Depois, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, observamos que a EDO não está na forma exata, mas queremos transformá-la em uma forma onde possamos aplicar o fator integrante. A ideia é reescrever a equação de forma que possamos identificar os termos
e
na forma:
Comparando com a nossa equação original, temos:
Passo 4
Para encontrar o fator integrante
, usamos a fórmula que relaciona
e
. A fórmula para o fator integrante que depende apenas de
é:
Onde
é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos esses valores na expressão de
:
Perceba que ainda temos termos com
, mas queremos um fator que dependa apenas de
. Para simplificar, assumimos que o fator integrante
depende apenas de
, o que nos leva a:
Passo 6
Integrando
, teremos:
Entretanto, devido à complexidade da expressão de
, percebemos que pode haver uma simplificação ou uma abordagem diferente para encontrar
. Observando a estrutura da equação, notamos que escolher
pode simplificar os termos, já que há vários termos com
no denominador.
Multiplicando a equação original por
:
Isso simplifica para:
Agora, a equação fica mais amigável para encontrar soluções ou integrar.
Resposta
O fator integrante é
.
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e
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I.
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