Considere a EDO
Encontre o fator integrante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e pede para a gente encontrar o fator integrante . Basicamente, um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, torna a EDO “exata”, ou seja, facilita a resolução. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo diferencial e como trabalhar com EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO para deixar tudo mais claro. A equação dada é:
Podemos organizar isso na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Depois, dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 3

Agora, observamos que a EDO não está na forma exata, mas queremos transformá-la em uma forma onde possamos aplicar o fator integrante. A ideia é reescrever a equação de forma que possamos identificar os termos e na forma:
Comparando com a nossa equação original, temos:

Passo 4

Para encontrar o fator integrante , usamos a fórmula que relaciona e . A fórmula para o fator integrante que depende apenas de é:
Onde é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituímos esses valores na expressão de :
Perceba que ainda temos termos com , mas queremos um fator que dependa apenas de . Para simplificar, assumimos que o fator integrante depende apenas de , o que nos leva a:

Passo 6

Integrando , teremos:
Entretanto, devido à complexidade da expressão de , percebemos que pode haver uma simplificação ou uma abordagem diferente para encontrar . Observando a estrutura da equação, notamos que escolher pode simplificar os termos, já que há vários termos com no denominador.
Multiplicando a equação original por :
Isso simplifica para:
Agora, a equação fica mais amigável para encontrar soluções ou integrar.

Resposta

O fator integrante é .

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Dê exemplo de uma Função contínua num ponto (a , b), mas não diferenciável em (a, b)
Encontre a solução geral das EDOs de primeira ordem:
Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas e são contínuas em I.
Encontre a solução geral das EDOs: