Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO de primeira ordem). A equação dada é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações exatas, que é uma técnica para encontrar soluções de EDOs quando certas condições são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, encontramos
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
em
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
(Reginaldo) Considere a equação linear
(a) Mostre que se
e
são soluções da equação, então
também o é.
(Reginaldo) Considere a seguinte equação diferencial:
(b) Encontre a solução geral dessa EDO.
(Reginaldo) Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.
(Reginaldo) Um termômetro é levado de uma sala onde a temperatura é de
para fora onde a temperatura é de
. Após
minuto o termômetro marca
. (b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?