Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem (EDO de primeira ordem). A equação dada é:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de equações exatas, que é uma técnica para encontrar soluções de EDOs quando certas condições são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, encontramos e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos em :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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