(Reginaldo) Considere a equação linear d y/d t + p(t) y = 0 (a) Mostre que se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t) = y1(t) + y2(t) também o é.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear da forma que pertence à matéria de Equações Diferenciais. O que precisamos mostrar é que, se e são soluções dessa equação, então a soma delas, , também é uma solução.

Passo 2

Sabemos que é uma solução da equação, então ela satisfaz:

Passo 3

Da mesma forma, também é uma solução, então:

Passo 4

Agora, vamos considerar a soma das duas soluções:

Passo 5

Para verificar se é uma solução, precisamos calcular a derivada de :

Passo 6

Substituindo as derivadas na equação original:

Passo 7

Expandindo a expressão:

Passo 8

Agrupando os termos:

Passo 9

Como e são soluções, sabemos que cada parêntese é igual a zero:

Resposta

Portanto, também é uma solução da equação diferencial .

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