(Reginaldo) Considere a equação linear
(a) Mostre que se
e
são soluções da equação, então
também o é.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial linear da forma
que pertence à matéria de Equações Diferenciais. O que precisamos mostrar é que, se
e
são soluções dessa equação, então a soma delas,
, também é uma solução.
Passo 2
Sabemos que
é uma solução da equação, então ela satisfaz:
Passo 3
Da mesma forma,
também é uma solução, então:
Passo 4
Agora, vamos considerar a soma das duas soluções:
Passo 5
Para verificar se
é uma solução, precisamos calcular a derivada de
:
Passo 6
Substituindo as derivadas na equação original:
Passo 7
Expandindo a expressão:
Passo 8
Agrupando os termos:
Passo 9
Como
e
são soluções, sabemos que cada parêntese é igual a zero:
Resposta
Portanto,
também é uma solução da equação diferencial
.
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Encontre a solução geral das EDOS de primeira ordem:
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(Reginaldo) Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.