(Reginaldo) Determine os pontos para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial tem uma única solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos os pontos onde o problema de valor inicial
tem uma solução única. Isso está no campo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente sobre existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quando podemos garantir que existe uma única solução para esse tipo de problema. Para isso, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf (também conhecido como Teorema de Cauchy-Lipschitz).

Passo 3

O Teorema de Picard-Lindelöf diz que, se a função for contínua em uma região ao redor de e satisfizer uma condição de Lipschitz em nessa região, então existe uma solução única para o problema de valor inicial.

Passo 4

Vamos detalhar isso:
  • Continuidade de : Isso significa que pequenos incrementos em e não causam saltos abruptos no valor de . Matemáticamente, para cada , existe um tal que se e , então .
  • Condição de Lipschitz em : Isso quer dizer que existe uma constante tal que, para quaisquer e ,
Essa condição garante que a função não varia muito rapidamente em relação a .

Passo 5

Então, para o nosso problema, os pontos onde podemos garantir uma única solução são aqueles onde:
  1. é contínua em uma vizinhança de .
  2. satisfaz a condição de Lipschitz em nessa mesma vizinhança.

Resposta

Os pontos para os quais o problema de valor inicial tem uma única solução são aqueles onde a função é contínua em uma vizinhança de e satisfaz a condição de Lipschitz em nessa região.

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