(Reginaldo) Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
tem uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos os pontos
onde o problema de valor inicial
tem uma solução única. Isso está no campo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente sobre existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber quando podemos garantir que existe uma única solução para esse tipo de problema. Para isso, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf (também conhecido como Teorema de Cauchy-Lipschitz).
Passo 3
O Teorema de Picard-Lindelöf diz que, se a função
for contínua em uma região ao redor de
e satisfizer uma condição de Lipschitz em
nessa região, então existe uma solução única para o problema de valor inicial.
Passo 4
Vamos detalhar isso:
-
Continuidade de
: Isso significa que pequenos incrementos em e não causam saltos abruptos no valor de . Matemáticamente, para cada , existe um tal que se e , então . -
Condição de Lipschitz em
: Isso quer dizer que existe uma constante tal que, para quaisquer e ,
Essa condição garante que a função não varia muito rapidamente em relação a
.
Passo 5
Então, para o nosso problema, os pontos
onde podemos garantir uma única solução são aqueles onde:
-
é contínua em uma vizinhança de . -
satisfaz a condição de Lipschitz em nessa mesma vizinhança.
Resposta
Os pontos
para os quais o problema de valor inicial tem uma única solução são aqueles onde a função
é contínua em uma vizinhança de
e satisfaz a condição de Lipschitz em
nessa região.
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