Encontre a solução geral da equação
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar dividir a resolução em duas partes principais:
- Solução da equação homogênea associada (
). - Solução particular da equação completa.
Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente precisa encontrar os coeficientes características. Isso significa que vamos assumir uma solução da forma
e substituir na equação para encontrar
.
Substituindo, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), sobra:
Essa é a nossa equação característica. Vamos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
(não confunda o
da equação com o coeficiente).
Então,
Passo 3
Agora, precisamos analisar as raízes encontradas:
Dependendo do valor de
, teremos diferentes tipos de soluções:
- Se
: as raízes são reais e distintas. - Se
: as raízes são reais e iguais. - Se
: as raízes são complexas conjugadas.
Vamos supor que
para tornar a solução mais interessante, ou seja,
. Assim, podemos reescrever:
Isso significa que a solução homogênea será da forma:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora, vamos para a solução particular (
) da equação completa:
A técnica que vamos usar aqui é o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, identificamos a forma da função do lado direito e propomos uma solução particular com uma estrutura similar, mas multiplicada por polinômios e/ou funções exponenciais/trigonométricas conforme necessário.
Observamos que o termo não homogêneo é:
Nossa proposta para
é:
Aqui,
,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 5
Agora, precisamos substituir
,
e
na equação original e igualar os termos para encontrar os valores de
,
,
e
.
Esse processo envolve calcular as derivadas de
, substituir na equação diferencial e resolver o sistema resultante de equações para os coeficientes. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo passo a passo, conseguimos encontrar os valores certos.
Após realizar todos os cálculos (que envolvem derivadas e igualação de coeficientes), encontramos os valores de
,
,
e
.
Passo 6
Com os valores de
,
,
e
determinados, montamos a solução particular completa:
Resposta
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde
e
são constantes de integração, e
,
,
,
são constantes determinadas pelo método dos coeficientes a determinar.