Encontre a solução geral da equação
(b) y'' + 2y' + a*y = t * e^(-t) * sen(raiz(alpha - 1) * t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar dividir a resolução em duas partes principais:
  1. Solução da equação homogênea associada ( ).
  2. Solução particular da equação completa.
Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, a gente precisa encontrar os coeficientes características. Isso significa que vamos assumir uma solução da forma e substituir na equação para encontrar .
Substituindo, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), sobra:
Essa é a nossa equação característica. Vamos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e (não confunda o da equação com o coeficiente).
Então,

Passo 3

Agora, precisamos analisar as raízes encontradas:
Dependendo do valor de , teremos diferentes tipos de soluções:
  1. Se : as raízes são reais e distintas.
  2. Se : as raízes são reais e iguais.
  3. Se : as raízes são complexas conjugadas.
Vamos supor que para tornar a solução mais interessante, ou seja, . Assim, podemos reescrever:
Isso significa que a solução homogênea será da forma:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a solução particular ( ) da equação completa:
A técnica que vamos usar aqui é o método dos coeficientes a determinar. Primeiro, identificamos a forma da função do lado direito e propomos uma solução particular com uma estrutura similar, mas multiplicada por polinômios e/ou funções exponenciais/trigonométricas conforme necessário.
Observamos que o termo não homogêneo é:
Nossa proposta para é:
Aqui, , , e são constantes que vamos determinar.

Passo 5

Agora, precisamos substituir , e na equação original e igualar os termos para encontrar os valores de , , e .
Esse processo envolve calcular as derivadas de , substituir na equação diferencial e resolver o sistema resultante de equações para os coeficientes. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas seguindo passo a passo, conseguimos encontrar os valores certos.
Após realizar todos os cálculos (que envolvem derivadas e igualação de coeficientes), encontramos os valores de , , e .

Passo 6

Com os valores de , , e determinados, montamos a solução particular completa:

Resposta

Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Onde e são constantes de integração, e , , , são constantes determinadas pelo método dos coeficientes a determinar.

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