, onde
é a região delimitada pelas curvas
e
. (Resp: 6)
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! O enunciado pede para calcular a integral
, onde a região
é delimitada pelas curvas
e
. Então, vamos usar cálculo de integrais duplas, especificamente integrando sobre uma região delimitada por duas funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como é a região
. Temos duas curvas:
, que é uma parábola, e
, que é metade da parábola invertida. Vamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Então,
ou
. Portanto, as curvas se interceptam em
e
.
Passo 4
Agora, sabemos que
varia de
a
. Para cada valor de
nessa faixa,
varia de
até
. Então, nossos limites de integração são:
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Primeiro integramos em relação a
, depois em relação a
.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a
de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.