integral duplaD 160 x y^3 d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=raizx. (Resp: 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma integral dupla aqui! O enunciado pede para calcular a integral integral duplaD 160 x y^3 , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = x^2 e y = raizx. Então, vamos usar cálculo de integrais duplas, especificamente integrando sobre uma região delimitada por duas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como é a região D. Temos duas curvas: y = x^2, que é uma parábola, e y = raizx, que é metade da parábola invertida. Vamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam para determinar os limites de integração.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões:
x^2 = raizx
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x^2)^2 = (raizx)^2 x^4 = x x^4 - x = 0 x(x^3 - 1) = 0
Então, x = 0 ou x^3 = 1 Rightarrow x = 1. Portanto, as curvas se interceptam em x = 0 e x = 1.

Passo 4

Agora, sabemos que x varia de 0 a 1. Para cada valor de x nessa faixa, y varia de y = x^2 até y = raizx. Então, nossos limites de integração são:
0 <= x <= 1 x^2 <= y <= raizx

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integral0^1 integralx^2^raizx 160 x y^3 , dy , dx
Primeiro integramos em relação a y, depois em relação a x.

Passo 6

Integrando em relação a y:
integralx^2^raizx 160 x y^3 , dy = 160 x [ y^44 ]x^2^raizx = 160 x ( (raizx)^44 - (x^2)^44 ) = 160 x ( x^24 - x^84 ) = 160 x cdot x^2 - x^84 = 40 x (x^2 - x^8) = 40 (x^3 - x^9)

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 40 (x^3 - x^9) , dx = 40 [ x^44 - x^1010 ]0^1 = 40 ( 14 - 110 ) = 40 ( 520 - 220 ) = 40 cdot 320 = 40 times 320 = 6

Resposta

O valor da integral dupla é 6.

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