Calcule as integrais duplas onde
é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo.
. (Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um retângulo definido por
e
. Vamos usar os conceitos de integrais duplas e integração sobre retângulos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície
sobre uma região
no plano
. No nosso caso,
.
Como
é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em
.
Passo 3
Vamos montar a integral iterada. Como
varia de 1 a 2 e
varia de 2 a 3, a integral fica assim:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
. Vamos tratar
como uma constante aqui:
Para integrar
em relação a
, usamos a regra de potência. A integral de
é
, então:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essa integral agora, que é em relação a
:
Agora avaliamos de
a
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.