Calcule as integrais duplas onde D é um retângulo dado pelas desigualdades abaixo. integral duplaD x y^2 d A, D=(x, y) in R^2 mid 1 <= x <= 2,2 <= y <= 3. (Resp: 192)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é um retângulo definido por e . Vamos usar os conceitos de integrais duplas e integração sobre retângulos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Ela serve para calcular o volume sob uma superfície sobre uma região no plano . No nosso caso, .
Como é um retângulo, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos escolher integrar primeiro em .

Passo 3

Vamos montar a integral iterada. Como integral duplaD xy^2 , dA = integraly=2^3 integralx=1^2 xy^2 , dx , dy varia de 1 a 2 e varia de 2 a 3, a integral fica assim:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx=1^2 xy^2 , dx . Vamos tratar integral xy^2 , dx = y^2 cdot x^22 + C como uma constante aqui:
y^2 ( (2)^22 - (1)^22 ) = y^2 ( 42 - 12 ) = y^2 ( 2 - 0,5 ) = y^2 cdot 1,5 = 32 y^2
Para integrar em relação a , usamos a regra de potência. A integral de é , então:
Agora, avaliamos de a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=2^3 32 y^2 , dy
Vamos resolver essa integral agora, que é em relação a 32 integral y^2 , dy = 32 cdot y^33 + C = y^32 + C :
(3)^32 - (2)^32 = 272 - 82 = 192
Agora avaliamos de a :

Resposta

A integral dupla é igual a .

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