integral duplaD x^2 y d A, onde D é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=-x^2+2 x. (Resp: 115 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaD x^2 y , dA, onde a região D é delimitada pelas curvas y = x^2 e y = -x^2 + 2x. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas, que nos permite calcular volumes sob superfícies. Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração, ou seja, onde as duas curvas se encontram e como elas delimitam a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de x. Igualamos as equações das curvas:
x^2 = -x^2 + 2x
Resolvendo para x:
x^2 + x^2 - 2x = 0 2x^2 - 2x = 0 2x(x - 1) = 0
Então, x = 0 ou x = 1. Portanto, os limites de x vão de 0 a 1.

Passo 3

Agora, para cada valor de x, precisamos determinar os limites de y. A curva superior é y = -x^2 + 2x e a curva inferior é y = x^2. Então, para cada x no intervalo [0, 1], y varia de x^2 a -x^2 + 2x.

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integralx=0^1 integraly=x^2^-x^2 + 2x x^2 y , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y.

Passo 5

Integramos x^2 y em relação a y:
integraly=x^2^-x^2 + 2x x^2 y , dy = x^2 [ y^22 ]x^2^-x^2 + 2x
Calculando os limites:
= x^2 ( (-x^2 + 2x)^22 - (x^2)^22 )

Passo 6

Vamos simplificar os termos dentro dos parênteses:
Primeiro, expanda (-x^2 + 2x)^2:
(-x^2 + 2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2
Então:
x^4 - 4x^3 + 4x^22 - x^42 = -4x^3 + 4x^22 = -2x^3 + 2x^2

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
x^2 (-2x^3 + 2x^2) = -2x^5 + 2x^4
Agora, precisamos integrar isso em relação a x de 0 a 1.

Passo 8

Integramos -2x^5 + 2x^4 em relação a x:
integral0^1 (-2x^5 + 2x^4) , dx = -2 [ x^66 ]0^1 + 2 [ x^55 ]0^1
Calculando os limites:
= -2 ( 16 - 0 ) + 2 ( 15 - 0 ) = -26 + 25 = -13 + 25

Passo 9

Agora, vamos somar as frações:
-13 + 25 = -515 + 615 = 115

Resposta

O valor da integral dupla é 115.

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