Resolva as equações:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender equações exatas e como encontrar uma função potencial que nos ajude a integrar a equação. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo em um formato mais familiar. Vamos colocar os termos que não envolvem
de um lado e os que envolvem de outro:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Mas, para facilitar a resolução, vamos reescrever a equação original em forma diferencial:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar essa função
. Integrando
em relação a
:
onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para identificar
:
Sabemos que
também deve ser igual a
:
Simplificando, vemos que:
Integrando isso, encontramos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Então, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
(a) Encontre a solução geral da equação e a solução do problema de valor inicial