Resolva as equações:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender equações exatas e como encontrar uma função potencial que nos ajude a integrar a equação. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar tudo em um formato mais familiar. Vamos colocar os termos que não envolvem de um lado e os que envolvem de outro:
Agora, dividimos ambos os lados por para isolar :
Mas, para facilitar a resolução, vamos reescrever a equação original em forma diferencial:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação é exata! Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar essa função . Integrando em relação a :
onde é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para identificar :
Sabemos que também deve ser igual a :
Simplificando, vemos que:
Integrando isso, encontramos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Como a equação é exata, a solução geral é dada por:
Então, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

Exercícios relacionados

Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Nos exercícios 1-22, encontre e .
(a) Encontre a solução geral da equação e a solução do problema de valor inicial