Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que diz
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação e também classificar o tipo dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem, especialmente aquelas que são separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser separável. Uma equação diferencial é separável quando conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação, ou seja, conseguir escrever algo como
.
Passo 3
Olhemos para a nossa equação:
. Podemos reescrever isso como:
Aqui, percebemos que conseguimos separar as variáveis
e
. Vamos fazer isso agora.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar
de
:
Assim, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
. Primeiro, integramos o lado esquerdo:
E do lado direito:
Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos agora resolver para
. Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para “livrar” o logaritmo:
Podemos simplificar a constante
como uma nova constante
:
Passo 7
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real. Além disso, a equação é do tipo separável.