Encontre a solução geral das equações diferenciais dadas. Classifique cada equação.
y' = (1+t)(1+y).

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que diz . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação e também classificar o tipo dela. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre equações diferenciais de primeira ordem, especialmente aquelas que são separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser separável. Uma equação diferencial é separável quando conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação, ou seja, conseguir escrever algo como .

Passo 3

Olhemos para a nossa equação: . Podemos reescrever isso como:
Aqui, percebemos que conseguimos separar as variáveis e . Vamos fazer isso agora.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar de :
Assim, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de . Primeiro, integramos o lado esquerdo:
E do lado direito:
Então, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos agora resolver para . Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para “livrar” o logaritmo:
Podemos simplificar a constante como uma nova constante :

Passo 7

Finalmente, isolamos para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real. Além disso, a equação é do tipo separável.

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