Resolva as EDO
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui, identificamos que:
Isso é importante porque o método dos fatores integrantes depende desses coeficientes.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
. Esse fator nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. A fórmula para calcular
é:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Aí você percebe que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Com essa equação mais simples, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo fica:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito. Observando que:
Podemos reescrever a integral como:
A segunda parte da integral é a derivada que acabamos de mencionar, então:
Já a primeira integral,
, não tem uma forma de função elementar, então a deixamos assim mesmo.
Passo 7
Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Como a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, deixamos a solução nessa forma.
Passo 8
Por fim, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Resolvendo para
, obtemos o valor da constante que completa a solução.
Resposta
A solução geral da EDO é:
Com a condição inicial
, a constante
é determinada de acordo.