Resolva as EDO y' + t y = 1 + t, y(3/2) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica bacana para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma EDO linear:
Aqui, identificamos que:
Isso é importante porque o método dos fatores integrantes depende desses coeficientes.

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante . Esse fator nos ajuda a transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente. A fórmula para calcular é:
Substituindo :

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Aí você percebe que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Com essa equação mais simples, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo fica:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado direito. Observando que:
Podemos reescrever a integral como:
A segunda parte da integral é a derivada que acabamos de mencionar, então:
Já a primeira integral, , não tem uma forma de função elementar, então a deixamos assim mesmo.

Passo 7

Substituindo de volta na equação, temos:
Agora, isolamos :
Simplificando:
Como a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares, deixamos a solução nessa forma.

Passo 8

Por fim, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Resolvendo para , obtemos o valor da constante que completa a solução.

Resposta

A solução geral da EDO é:
Com a condição inicial , a constante é determinada de acordo.

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