Resolva os problemas de valor inicial. Classifique as equações.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
Isso significa que queremos encontrar a função
que satisfaz essa equação quando
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que são separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos classificar a equação. A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela é não linear devido ao termo
. Além disso, ela parece ser separável, o que significa que conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação. Começamos isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, temos:
Mas para facilitar a separação, vamos manter a forma:
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
. Assim:
A integral do lado direito é direta:
Então, juntando tudo:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
. Primeiro, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Isolando
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Elevando ao quadrado:
Resposta
A solução da equação diferencial é: