Resolva os problemas de valor inicial. Classifique as equações.
t^2(1+y^2)+2y dy/dt=0, y(0)=1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é resolver uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação é:
Isso significa que queremos encontrar a função que satisfaz essa equação quando e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especificamente aquelas que são separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos classificar a equação. A equação dada é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Ela é não linear devido ao termo . Além disso, ela parece ser separável, o que significa que conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem .

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a separação. Começamos isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Então, temos:
Mas para facilitar a separação, vamos manter a forma:
Agora, vamos tentar separar as variáveis e :

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por substituição. Seja , então . Assim:
A integral do lado direito é direta:
Então, juntando tudo:

Passo 5

Agora, vamos resolver para . Primeiro, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos reescrever como uma nova constante :
Isolando :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Elevando ao quadrado:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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