Empregando e determine o tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera que está mudando de temperatura e queremos descobrir quanto tempo ela leva para atingir uma temperatura específica. Os dados que temos são:
  • Taxa de resfriamento (α):
  • Temperatura inicial da esfera ( ):
  • Temperatura ambiente ( ):
  • Temperatura final desejada ( ):
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a calcular como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente.

Passo 2

A Lei de Resfriamento de Newton é representada pela seguinte fórmula:
Onde:
  • é a temperatura da esfera no tempo
  • é a temperatura ambiente
  • é a temperatura inicial da esfera
  • é a taxa de resfriamento
  • é a base dos logaritmos naturais

Passo 3

Queremos encontrar o tempo quando a temperatura da esfera atinge . Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Subtraímos 50 de ambos os lados:

Passo 5

Dividimos ambos os lados por para isolar o termo exponencial:

Passo 6

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 7

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

O tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de é de 75 segundos.

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(a) . Res: .
(b) . Res: .
© Res: .