Empregando
e
determine o tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera que está mudando de temperatura e queremos descobrir quanto tempo ela leva para atingir uma temperatura específica. Os dados que temos são:
- Taxa de resfriamento (α):
- Temperatura inicial da esfera (
): - Temperatura ambiente (
): - Temperatura final desejada (
):
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que nos ajuda a calcular como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo em relação à temperatura do ambiente.
Passo 2
A Lei de Resfriamento de Newton é representada pela seguinte fórmula:
Onde:
-
é a temperatura da esfera no tempo -
é a temperatura ambiente -
é a temperatura inicial da esfera -
é a taxa de resfriamento -
é a base dos logaritmos naturais
Passo 3
Queremos encontrar o tempo
quando a temperatura da esfera atinge
. Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Subtraímos 50 de ambos os lados:
Passo 5
Dividimos ambos os lados por
para isolar o termo exponencial:
Passo 6
Para resolver para
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
O tempo necessário para que a esfera atinja a temperatura de
é de 75 segundos.
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Encontre a solução geral das equações diferenciais:
(a) . Res:
.
(b) . Res:
.
© Res:
.
(a)
(b)
©