Encontre a solução geral:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisa encontrar a solução geral dela. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica associada e, a partir delas, montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica. Isso é feito substituindo
por
na equação diferencial. Fazendo isso, a equação original se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, os coeficientes são
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante (
), que é a parte dentro da raiz na fórmula de Bhaskara:
Como
, sabemos que temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as raízes usando a fórmula:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Como temos duas raízes reais e distintas (
e
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Resposta
A solução geral é: