Encontre a solução geral:
(a) y''(t) + 3y'(t) - 4y(t) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisa encontrar a solução geral dela. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar as raízes da equação característica associada e, a partir delas, montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica. Isso é feito substituindo y(t) por na equação diferencial. Fazendo isso, a equação original se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que é:
Aqui, os coeficientes são , e .

Passo 4

Calculando o discriminante ( Delta), que é a parte dentro da raiz na fórmula de Bhaskara:
Como , sabemos que temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes usando a fórmula:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Como temos duas raízes reais e distintas ( e ), a solução geral da equação diferencial é dada por:

Resposta

A solução geral é:

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