Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(e)
, о eixo
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume por revolução! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As equações
e
são linhas horizontais, e
é o eixo
. A curva
é uma hipérbole que se aproxima do eixo
quando
aumenta. Então, nossa região está entre
e
, à direita do eixo
.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, é mais fácil usar o método dos discos. A ideia é cortar o sólido em fatias horizontais (discos) perpendiculares ao eixo
. O volume de cada disco é a área da base vezes a espessura.
Passo 4
A fórmula para o volume usando discos é:
Aqui,
é o raio do disco em função de
, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.
Passo 5
No nosso caso, o raio
é a distância do eixo
até a curva
, que é simplesmente
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora vamos resolver a integral:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.