Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(e) x = 1/y, x = 0, y = 1, y = 2, о eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume por revolução! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As equações e são linhas horizontais, e é o eixo . A curva é uma hipérbole que se aproxima do eixo quando aumenta. Então, nossa região está entre e , à direita do eixo .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , é mais fácil usar o método dos discos. A ideia é cortar o sólido em fatias horizontais (discos) perpendiculares ao eixo . O volume de cada disco é a área da base vezes a espessura.

Passo 4

A fórmula para o volume usando discos é:
Aqui, é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.

Passo 5

No nosso caso, o raio é a distância do eixo até a curva , que é simplesmente . Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora vamos resolver a integral:
A integral de em relação a é . Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva a equação do calor nos casos abaixo. Utilize f(x) e suas respectivas séries calculadas no exercício acima:
& l ut=ux x ; (x, t) in[0 pi] times(0, infty), u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty) u(x, 0)=f(x), x in[0, pi]
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(f) x = y^(3/2), x = 0, y = 1, о eixo y.
Encontre a solução geral do problema abaixo usando separação de variáveis:
l ut=a^2 ux x ; (x, t) in(0, L)(times 0, infty) u(0, t)=0=ux(L, t), t in[0, infty)
Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(g) x = raiz(4 - y^2), x = 0, y = 0, о eixo y.