Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado.
(e) , о eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de volume por revolução! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado ao girar a região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As equações e são linhas horizontais, e é o eixo . A curva é uma hipérbole que se aproxima do eixo quando aumenta. Então, nossa região está entre e , à direita do eixo .
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo , é mais fácil usar o método dos discos. A ideia é cortar o sólido em fatias horizontais (discos) perpendiculares ao eixo . O volume de cada disco é a área da base vezes a espessura.
Passo 4
A fórmula para o volume usando discos é:
Aqui, é o raio do disco em função de , e e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 2.
Passo 5
No nosso caso, o raio é a distância do eixo até a curva , que é simplesmente . Então, substituindo na fórmula: