Resolva a equação do calor nos casos abaixo. Utilize e suas respectivas séries calculadas no exercício acima:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação do calor que você mandou! Basicamente, temos uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura varia ao longo do espaço e do tempo . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier. Vamos precisar entender como essas ferramentas funcionam para quebrar a equação em partes mais simples e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, a equação do calor dada é:
ut = uxx
com as condições de contorno:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0
e a condição inicial:
u(x, 0) = f(x)
O que isso significa? Queremos encontrar uma função que satisfaz essa equação diferencial em todo o intervalo e para todo , mantendo as temperaturas nas pontas e iguais a zero ao longo do tempo, e que no tempo a distribuição de temperatura é dada por .
Passo 3
Vamos aplicar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de X(x) cdot T'(t) = X''(x) cdot T(t) e outra que depende só de T'(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Substituindo isso na equação do calor:
T'(t) + lambda T(t) = 0
Dividindo ambos os lados por , temos:
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 4
Resolvendo a equação de X''(x) + lambda X(x) = 0 :
lambdan = n^2 para n = 1, 2, 3, dots
Com as condições de contorno Xn(x) = sin(n x) e , procuramos soluções não triviais. As soluções são senos, e os valores próprios são:
Então, as funções próprias são:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação de Tn'(t) + n^2 Tn(t) = 0 para cada Tn(t) = Cn e^-n^2 t :
A solução geral dessa equação diferencial é:
onde é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.
Passo 6
Combinando un(x, t) = Cn sin(n x) e^-n^2 t e u(x, t) = sumn=1^infty Cn sin(n x) e^-n^2 t , temos as soluções separadas:
A solução geral é a soma de todas essas soluções separadas para cada modo :
Passo 7
Para determinar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty Cn sin(n x) , usamos a condição inicial :
Essa é a série de Fourier seno de . Então, os coeficientes são os mesmos que você calculou no exercício anterior para a série de Fourier de .
Resposta
A solução da equação do calor é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty bn sin(n x) e^-n^2 t
onde são os coeficientes da série de Fourier de que foram calculados no exercício anterior.