Em cada uma das alíneas abaixo, verifique que as funções dadas e são soluções da equação diferencial. Elas formam um conjunto fundamental de soluções?
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se as funções e são soluções da equação diferencial . Além disso, temos que descobrir se essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Para resolver isso, vamos precisar calcular derivadas das funções e usar o Wronskiano para verificar a independência linear delas.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Como a equação se iguala a zero, é de fato uma solução da equação diferencial.
Passo 3
Agora, vamos verificar se também é uma solução. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Então, também satisfaz a equação diferencial.
Passo 4
Agora que sabemos que ambas as funções são soluções, precisamos verificar se elas formam um conjunto fundamental. Para isso, usamos o Wronskiano, que nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.
O Wronskiano é dado por:
Calculando:
Como é diferente de zero para todo , as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções e são soluções da equação diferencial e formam um conjunto fundamental de soluções.