Calcule e justifique. Solução do item (a) : A função f(x)=x^2 é contínua em x=2 e, portanto, lim x 2 x^2=f(2)=4.
(m) lim x 12 4 x^2-12 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do estudo de limites em cálculo, especificamente sobre como encontrar o valor que uma função se aproxima quando a variável se aproxima de um determinado ponto. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão algébrica para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 4 (12)^2 - 12 (12) - 1 = 4 (14) - 11 - 1 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente acaba com a forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, pois pode ser escrito como 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) . A diferença de quadrados pode ser fatorada da seguinte maneira:
Aplicando isso ao numerador:

Passo 4

Agora, nossa expressão fica:
(2x - 1)(2x + 1)2x - 1
Observamos que o termo cancel(2x - 1)(2x + 1)cancel2x - 1 = 2x + 1 está presente tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo (desde que , o que é válido para o limite):

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para lim x 12 (2x + 1) = 2 (12) + 1 = 1 + 1 = 2 , podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

lim x 12 4 x^2-12 x-1 = 2

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