Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo a região interior à esfera e exterior ao cone .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a região dentro da esfera e também fora do cone . Aqui, vamos usar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, que facilita muito esse tipo de problema envolvendo esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: (distância do ponto à origem), (ângulo no plano ) e (ângulo entre o eixo e a linha que liga a origem ao ponto). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos traduzir as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas. A esfera fica simplesmente porque .
Para o cone , substituindo, temos:
Então, o cone corresponde a .

Passo 4

Como queremos a região dentro da esfera e fora do cone, as variáveis estarão restritas da seguinte forma:
  • varia de 0 até 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 até (acima do cone).
  • varia de 0 a (completando a volta no plano ).

Passo 5

Agora, substituímos por na integral, já que . A integral fica:

Passo 6

Agora, configuramos os limites de integração:

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma por uma, começando por :

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Passo 9

Por último, integramos em relação a :

Passo 10

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:

Resposta

A integral vale .

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Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d) sendo o sólido demimitado por .
Encontre a solução geral de: .
Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação dada: .
Encontre a solução geral de: .