Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) integral triplaT(x^2+y^2+z^2) d V sendo T a região interior à esfera x^2+y^2+z^2=9 e exterior ao cone x^2+y^2=z^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a região dentro da esfera e também fora do cone . Aqui, vamos usar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, que facilita muito esse tipo de problema envolvendo esferas e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi (distância do ponto à origem), (ângulo no plano ) e (ângulo entre o eixo e a linha que liga a origem ao ponto). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .

Passo 3

Agora, vamos traduzir as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas. A esfera (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = (rho cosphi)^2 fica simplesmente rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = rho^2 cos^2phi porque sin^2phi = cos^2phi .
Para o cone tanphi = 1 Rightarrow phi = pi4 , substituindo, temos:
Então, o cone corresponde a .

Passo 4

Como queremos a região dentro da esfera e fora do cone, as variáveis estarão restritas da seguinte forma:
  • varia de 0 até 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 até (acima do cone).
  • varia de 0 a (completando a volta no plano ).

Passo 5

Agora, substituímos integral triplaT rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaT rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta por na integral, já que . A integral fica:

Passo 6

Agora, configuramos os limites de integração:
integral0^2pi integral0^pi4 integral0^3 rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver as integrais uma por uma, começando por integral0^3 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^3 = 3^55 - 0 = 2435 :

Passo 8

Agora, integramos em relação a integral0^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22 :

Passo 9

Por último, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 10

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
2435 times (1 - raiz22) times 2pi = 2435 times 2pi times (1 - raiz22)
= 486pi5 (1 - raiz22)
= 486pi5 (2 - raiz22)
= 486pi5 times 2 - raiz22
= 486pi (2 - raiz2)10
= 243pi (2 - raiz2)5

Resposta

A integral vale .

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