Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo a região interior à esfera e exterior ao cone .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a região dentro da esfera e também fora do cone . Aqui, vamos usar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, que facilita muito esse tipo de problema envolvendo esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: (distância do ponto à origem), (ângulo no plano ) e (ângulo entre o eixo e a linha que liga a origem ao ponto). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .
Passo 3
Agora, vamos traduzir as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas. A esfera fica simplesmente porque .
Para o cone , substituindo, temos:
Então, o cone corresponde a .
Passo 4
Como queremos a região dentro da esfera e fora do cone, as variáveis estarão restritas da seguinte forma:
varia de 0 até 3 (raio da esfera).
varia de 0 até (acima do cone).
varia de 0 a (completando a volta no plano ).
Passo 5
Agora, substituímos por na integral, já que . A integral fica:
Passo 6
Agora, configuramos os limites de integração:
Passo 7
Vamos resolver as integrais uma por uma, começando por :
Passo 8
Agora, integramos em relação a :
Passo 9
Por último, integramos em relação a :
Passo 10
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais: