Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo a região interior à esfera e exterior ao cone .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral , onde é a região dentro da esfera e também fora do cone . Aqui, vamos usar a mudança de variáveis para coordenadas esféricas, que facilita muito esse tipo de problema envolvendo esferas e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é representado por três coordenadas: (distância do ponto à origem), (ângulo no plano ) e (ângulo entre o eixo e a linha que liga a origem ao ponto). As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Também, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por .
Passo 3
Agora, vamos traduzir as equações da esfera e do cone para coordenadas esféricas. A esfera (rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = (rho cosphi)^2 fica simplesmente rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) = rho^2 cos^2phi porque sin^2phi = cos^2phi .
Para o cone tanphi = 1 Rightarrow phi = pi4 , substituindo, temos:
Então, o cone corresponde a .
Passo 4
Como queremos a região dentro da esfera e fora do cone, as variáveis estarão restritas da seguinte forma:
varia de 0 até 3 (raio da esfera).
varia de 0 até (acima do cone).
varia de 0 a (completando a volta no plano ).
Passo 5
Agora, substituímos integral triplaT rho^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaT rho^4 sinphi , drho , dphi , dtheta por na integral, já que . A integral fica: