Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y'' - 2y' + 2y = 0, y(0) = raiz(2), y'(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem com as condições iniciais e . Para isso, precisamos usar os métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da equação e depois determinar os valores das constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo por , o que nos leva a:

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Calculamos o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo ( ), as raízes serão complexas.

Passo 4

Encontramos as raízes complexas da equação característica:
Isso significa que temos raízes , onde e .

Passo 5

A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é dada por:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 7

Em seguida, derivamos para aplicar a condição :
Simplificando:
Aplicando :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução particular da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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