Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem
com as condições iniciais
e
. Para isso, precisamos usar os métodos de resolução de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Vamos encontrar a solução geral da equação e depois determinar os valores das constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo
por
, o que nos leva a:
Passo 3
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. Calculamos o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas.
Passo 4
Encontramos as raízes complexas da equação característica:
Isso significa que temos raízes
, onde
e
.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, derivamos
para aplicar a condição
:
Simplificando:
Aplicando
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução particular da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos ?
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$© É verdade que também converge?
$© É verdade que
Determine a área da superfície do cilindro
limitada pelo plano
e o cone