Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$© É verdade que
também converge?
$© É verdade que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série
que é convergente, ou seja, ela soma até um valor finito. Também sabemos que
é uma sequência limitada, o que significa que seus termos não crescem sem limite. A pergunta é: será que a série dos quadrados dessa série original,
, também converge?
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente. Uma série
converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que adicionamos mais termos. Agora, quando falamos de
, estamos olhando para a soma dos quadrados desses mesmos termos.
Passo 3
Para saber se
converge, podemos usar um teste de comparação. Sabemos que se
converge, então os termos
tendem a zero quando
aumenta. Ou seja,
quando
.
Passo 4
Como
, os termos
também vão para zero, e de fato, eles vão para zero mais rápido porque estamos elevando ao quadrado. Mas isso por si só não garante que a série dos quadrados vai convergir.
Passo 5
Aqui entra o Teste da Série Comparativa. Sabemos que se
e
converge, então
também converge. No nosso caso, como
se aproxima de zero, para grandes valores de
,
será menor que
.
Passo 6
Portanto, aplicando o Teste da Série Comparativa, já que
converge e
para
suficientemente grande, concluímos que
também converge.
Resposta
Sim, a série
também converge.
Exercícios relacionados
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos ?
$(b) A afirmação resta verdadeira se retiramos a condição sobre os termos
Determine a área da superfície do cilindro
limitada pelo plano
e o cone
Determine se as seguintes sequências possuem um limite.
$(b)
$(b)