Seja sumk=1^infty ak uma série convergente e bk uma sequência limitada.
$© É verdade que (c) É verdade que também converge?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série que é convergente, ou seja, ela soma até um valor finito. Também sabemos que é uma sequência limitada, o que significa que seus termos não crescem sem limite. A pergunta é: será que a série dos quadrados dessa série original, , também converge?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser convergente. Uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número específico à medida que adicionamos mais termos. Agora, quando falamos de , estamos olhando para a soma dos quadrados desses mesmos termos.

Passo 3

Para saber se converge, podemos usar um teste de comparação. Sabemos que se converge, então os termos tendem a zero quando aumenta. Ou seja, quando .

Passo 4

Como , os termos também vão para zero, e de fato, eles vão para zero mais rápido porque estamos elevando ao quadrado. Mas isso por si só não garante que a série dos quadrados vai convergir.

Passo 5

Aqui entra o Teste da Série Comparativa. Sabemos que se e converge, então também converge. No nosso caso, como se aproxima de zero, para grandes valores de , será menor que .

Passo 6

Portanto, aplicando o Teste da Série Comparativa, já que converge e para suficientemente grande, concluímos que também converge.

Resposta

Sim, a série também converge.

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