Determine a área da superfície do cilindro
limitada pelo plano
e o cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar a área da superfície de um cilindro dado pela equação
, que está limitada pelo plano
e pelo cone
. Aqui, vamos trabalhar com geometria espacial, especificamente com áreas de superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e integrar a área usando cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro
. Esse é um cilindro circular de raio 1, mas deslocado 1 unidade ao longo do eixo x. Ou seja, o centro da base do cilindro está em (1, 0, z).
Passo 3
Agora, vamos olhar para o cone
. Esse é um cone com seu vértice na origem (0,0,0) e que se abre para cima. Para encontrar a área da superfície do cilindro entre o plano
e esse cone, precisamos determinar até onde o cilindro e o cone se cruzam.
Passo 4
Para encontrar a interseção entre o cilindro e o cone, igualamos as equações:
Vamos resolver isso para encontrar os limites de integração.
Passo 5
Explicando as equações:
- A equação do cilindro
descreve um círculo de raio 1 no plano xy, deslocado para x=1. - A equação do cone
relaciona z com a distância do ponto (x,y) à origem.
Passo 6
Substituindo
na equação do cone:
Como
, expandindo:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro é circular e alinhado ao eixo z, usamos coordenadas cilíndricas. Definimos:
Onde
varia de 0 a
para cobrir toda a circunferência.
Passo 8
Para encontrar a área da superfície do cilindro entre
e
, usamos a fórmula da área para parametrizações:
Onde
e
são as derivadas parciais da parametrização em relação a
e
, respectivamente.
Passo 9
Calculando as derivadas:
O produto vetorial
é:
A norma desse vetor é:
Passo 10
Então, a área da superfície é:
Aqui,
varia de 0 até
.
Passo 11
Integrando primeiro em relação a
:
Então, a área fica:
Passo 12
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Como
é positivo para
, e negativo para
, o valor absoluto nos permite escrever:
Passo 13
Dividindo a integral em duas partes onde o cosseno é positivo e negativo:
Passo 14
Calculando cada integral:
Para
:
Para
:
Passo 15
Substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da superfície do cilindro limitada pelo plano
e o cone
é igual a
unidades de área.
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Seja
uma série convergente e
uma sequência limitada.
$© É verdade que também converge?
$© É verdade que
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
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$(b)
$(b)
Calcule a integral: