Determine a área da superfície do cilindro (x-1)² + y² = 1 limitada pelo plano z = 0 e o cone z = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para determinar a área da superfície de um cilindro dado pela equação (x-1)² + y² = 1, que está limitada pelo plano z = 0 e pelo cone z = raiz(x^2 + y^2). Aqui, vamos trabalhar com geometria espacial, especificamente com áreas de superfícies curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cilindro e integrar a área usando cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro (x-1)² + y² = 1. Esse é um cilindro circular de raio 1, mas deslocado 1 unidade ao longo do eixo x. Ou seja, o centro da base do cilindro está em (1, 0, z).

Passo 3

Agora, vamos olhar para o cone z = raiz(x^2 + y^2). Esse é um cone com seu vértice na origem (0,0,0) e que se abre para cima. Para encontrar a área da superfície do cilindro entre o plano z = 0 e esse cone, precisamos determinar até onde o cilindro e o cone se cruzam.

Passo 4

Para encontrar a interseção entre o cilindro e o cone, igualamos as equações:
Vamos resolver isso para encontrar os limites de integração.

Passo 5

Explicando as equações:
  • A equação do cilindro (x-1)² + y² = 1 descreve um círculo de raio 1 no plano xy, deslocado para x=1.
  • A equação do cone z = raiz(x^2 + y^2) relaciona z com a distância do ponto (x,y) à origem.

Passo 6

Substituindo na equação do cone:
Como , expandindo:
Então:

Passo 7

Agora, precisamos parametrizar a superfície do cilindro. Como o cilindro é circular e alinhado ao eixo z, usamos coordenadas cilíndricas. Definimos:
Onde theta varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 8

Para encontrar a área da superfície do cilindro entre z = 0 e , usamos a fórmula da área para parametrizações:
Onde e são as derivadas parciais da parametrização em relação a theta e z, respectivamente.

Passo 9

Calculando as derivadas:
O produto vetorial é:
A norma desse vetor é:

Passo 10

Então, a área da superfície é:
Aqui, z varia de 0 até .

Passo 11

Integrando primeiro em relação a z:
Então, a área fica:

Passo 12

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Como é positivo para , e negativo para , o valor absoluto nos permite escrever:

Passo 13

Dividindo a integral em duas partes onde o cosseno é positivo e negativo:

Passo 14

Calculando cada integral:
Para 0 <= theta <= pi:
Para :

Passo 15

Substituindo os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

A área da superfície do cilindro limitada pelo plano z = 0 e o cone z = raiz(x^2 + y^2) é igual a unidades de área.

Exercícios relacionados

Seja sumk=1^infty ak uma série convergente e bk uma sequência limitada.
$© É verdade que (c) É verdade que também converge?
Encontre a solução particular determinada pelas condições iniciais dada.
y'' - 2y' + 2y = 0, y(0) = raiz(2), y'(0) = 0
Determine se as seguintes sequências possuem um limite.
$(b) b
Calcule a integral: integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y d y d x R: 2