Encontre a solução particular da equação x^prime prime(t)+3 x^prime(t)+2 x(t)=3 de.
R:: 3(e^-t-e^-2 t) u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução particular da equação $ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = 3\delta(t) $. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e usando a função delta de Dirac, que é uma função especial usada para modelar impulsos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a equação homogênea associada e como aplicar o método da resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = 0 $. Para isso, encontramos as raízes da equação característica: $ r^2 + 3r + 2 = 0 $.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^2 + 3r + 2 = 0 De
As raízes são reais e distintas, então a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a solução particular $ x_p(t) $ da equação não homogênea $ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = 3\delta(t) $. Como o lado direito é uma função delta de Dirac, podemos usar a propriedade da transformada de Laplace para encontrar $ x_p(t) $.

Passo 5

Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Lx''(t) + 3Lx'(t) + 2Lx(t) = 3Lde
Sabemos que:
Lx''(t) = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) Lx'(t) = s X(s) - x(0) Lde
Assumindo que as condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ x’(0) = 0 $, simplificamos:
x(0) = 0

Passo 6

Fatorando o denominador:
s^2 + 3s + 2 = (s + 1)(s + 2)
Então,
X(s) = 3(s + 1)(s + 2)
Podemos decompor em frações parciais:
3(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2
Resolvendo para A e B:
3 = A(s + 2) + B(s + 1)
Para $ s = -2 $:
s = -2
Para $ s = -1 $:
3 = A(0) + B(-2 + 1) Rightarrow 3 = -B Rightarrow B = -3
Então,
s = -1

Passo 7

Aplicando a transformada inversa de Laplace:
xp(t) = 3 e^-t - 3 e^-2t
Como estamos lidando com a função delta, multiplicamos pela função escalonamento $ u(t) $ para garantir que a solução seja válida para $ t \geq 0 $.

Resposta

xp(t) = 3(e^-t - e^-2t) u(t)

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