Encontre a solução particular da equação
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução particular da equação $ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = 3\delta(t) $. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem e usando a função delta de Dirac, que é uma função especial usada para modelar impulsos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com a equação homogênea associada e como aplicar o método da resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = 0 $. Para isso, encontramos as raízes da equação característica: $ r^2 + 3r + 2 = 0 $.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
As raízes são reais e distintas, então a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a solução particular $ x_p(t) $ da equação não homogênea $ x’’(t) + 3x’(t) + 2x(t) = 3\delta(t) $. Como o lado direito é uma função delta de Dirac, podemos usar a propriedade da transformada de Laplace para encontrar $ x_p(t) $.
Passo 5
Aplicando a transformada de Laplace na equação:
Sabemos que:
Assumindo que as condições iniciais $ x(0) = 0 $ e $ x’(0) = 0 $, simplificamos:
Passo 6
Fatorando o denominador:
Então,
Podemos decompor em frações parciais:
Resolvendo para A e B:
Para $ s = -2 $:
Para $ s = -1 $:
Então,
Passo 7
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Como estamos lidando com a função delta, multiplicamos pela função escalonamento $ u(t) $ para garantir que a solução seja válida para $ t \geq 0 $.