Obter a transformada de um trem finito de impulsos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a transformada de um “trem” finito de impulsos. Isso significa que temos uma soma de deltas de Dirac espalhadas no tempo. O enunciado é:
Vamos precisar usar a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta para analisar sinais no domínio da frequência. Além disso, vamos usar propriedades da função delta de Dirac para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac,
. Ela é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em
, onde é infinita de forma que sua integral ao redor de zero seja igual a 1:
Essa função é muito útil para “amostrar” sinais em pontos específicos.
Passo 3
Agora, vamos recapitular a definição da Transformada de Fourier de uma função
:
Onde:
-
é a transformada no domínio da frequência. -
é a frequência angular. -
é a unidade imaginária.
Passo 4
Vamos aplicar a Transformada de Fourier à nossa função
:
Por causa da linearidade da transformada, podemos trocar a ordem da soma e da integral:
Passo 5
Sabemos que a integral de uma função multiplicada por um delta deslocado é simplesmente a função avaliada no ponto do delta. Ou seja:
Então nossa expressão fica:
Passo 6
Essa soma é uma progressão geométrica que podemos simplificar. Sabemos que:
Usando a identidade de exponenciais e simplificando, podemos escrever a transformada de forma mais compacta.
Resposta
A transformada de Fourier do trem finito de impulsos é: