Obter a transformada de um trem finito de impulsos:
f(t)=sumn=0^k-1 de

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para encontrar a transformada de um “trem” finito de impulsos. Isso significa que temos uma soma de deltas de Dirac espalhadas no tempo. O enunciado é:
f(t)=sumn=0^k-1 de
Vamos precisar usar a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta para analisar sinais no domínio da frequência. Além disso, vamos usar propriedades da função delta de Dirac para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função delta de Dirac, de. Ela é uma função que é zero em todos os lugares, exceto em t = 0, onde é infinita de forma que sua integral ao redor de zero seja igual a 1:
integral-infty^infty de
Essa função é muito útil para “amostrar” sinais em pontos específicos.

Passo 3

Agora, vamos recapitular a definição da Transformada de Fourier de uma função f(t):
F(omega) = integral-infty^infty f(t) e^-j omega t , dt
Onde:
  • F(omega) é a transformada no domínio da frequência.
  • omega é a frequência angular.
  • j é a unidade imaginária.

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Fourier à nossa função f(t):
F(omega) = integral-infty^infty ( sumn=0^k-1 de
Por causa da linearidade da transformada, podemos trocar a ordem da soma e da integral:
F(omega) = sumn=0^k-1 integral-infty^infty de

Passo 5

Sabemos que a integral de uma função multiplicada por um delta deslocado é simplesmente a função avaliada no ponto do delta. Ou seja:
integral-infty^infty de
Então nossa expressão fica:
F(omega) = sumn=0^k-1 e^-j omega nT

Passo 6

Essa soma é uma progressão geométrica que podemos simplificar. Sabemos que:
sumn=0^k-1 e^-j omega nT = 1 - e^-j omega kT1 - e^-j omega T
Usando a identidade de exponenciais e simplificando, podemos escrever a transformada de forma mais compacta.

Resposta

A transformada de Fourier do trem finito de impulsos é:
F(omega) = 1 - e^-j omega kT1 - e^-j omega T

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