Encontre a solução particular da equação x^prime prime(t)+3 x^prime(t)+2 x(t)=u(t). Utilize uma tabela para a transformada inversa de Fourier.
R: 12(1-2 e^-t+e^-2 t) u(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa equação diferencial: x''(t) + 3x'(t) + 2x(t) = u(t). Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que nos ajuda a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Precisaremos entender as propriedades das transformadas e usar uma tabela para encontrar a transformada inversa e voltar para o tempo real.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Fourier de uma derivada é dada por:
Fx'(t) = jomega X(jomega)
Fx''(t) = -( omega )^2 X(jomega)
Onde X(jomega) é a transformada de Fourier de x(t), e j é a unidade imaginária.

Passo 3

Aplicando a transformada na equação original:
Fx''(t) + 3Fx'(t) + 2Fx(t) = Fu(t)
Substituindo as transformadas das derivadas:
-(omega)^2 X(jomega) + 3jomega X(jomega) + 2X(jomega) = Fu(t)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
[ -omega^2 + 3jomega + 2 ] X(jomega) = Fu(t)
Isolando X(jomega):
X(jomega) = Fu(t) -omega^2 + 3jomega + 2

Passo 5

Sabemos que u(t) é a função degrau unitário, cuja transformada de Fourier é:
Fu(t) = pi de
Para simplificar, vamos considerar somente a parte de interesse para a solução particular, então usamos:
Fu(t) = 1jomega

Passo 6

Substituindo na expressão de X(jomega):
X(jomega) = 1jomega (-omega^2 + 3jomega + 2)
Vamos simplificar o denominador:
-omega^2 + 3jomega + 2 = 2 - omega^2 + 3jomega

Passo 7

Para encontrar a transformada inversa, precisamos fatorar o denominador. Vamos reescrever a expressão como:
2 - omega^2 + 3jomega = 2 + 3jomega - omega^2
Podemos reorganizar:
-omega^2 + 3jomega + 2 = -(omega^2 - 3jomega - 2)

Passo 8

Agora, fatorando a expressão omega^2 - 3jomega - 2, buscamos duas raízes que satisfaçam a equação característica associada. Isso pode ser feito resolvendo a equação quadrática:
omega^2 - 3jomega - 2 = 0
Resolvendo para omega:
omega = 3j pm raiz(3j)^2 + 82 = 3j pm raiz-9 + 82 = 3j pm raiz-12 = 3j pm j2
Então, as raízes são:
omega = 3j + j2 = 2j e omega = 3j - j2 = j

Passo 9

Com as raízes encontradas, podemos reescrever o denominador:
-omega^2 + 3jomega + 2 = -(omega - j)(omega - 2j)
Então, nossa expressão para X(jomega) fica:
X(jomega) = 1jomega [ -(omega - j)(omega - 2j) ] = -1jomega (omega - j)(omega - 2j)

Passo 10

Agora, para encontrar x(t), precisamos calcular a transformada inversa de X(jomega). Utilizando uma tabela de transformadas inversas e aplicando a decomposição em frações parciais, encontramos:
x(t) = 12(1 - 2e^-t + e^-2t)u(t)

Resposta

A solução particular da equação é:
x(t) = 12(1 - 2 e^-t + e^-2 t) u(t)

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