Encontre a solução particular da equação
. Utilize uma tabela para a transformada inversa de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa equação diferencial:
. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que nos ajuda a transformar a equação do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Precisaremos entender as propriedades das transformadas e usar uma tabela para encontrar a transformada inversa e voltar para o tempo real.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Fourier de uma derivada é dada por:
Onde
é a transformada de Fourier de
, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Aplicando a transformada na equação original:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Isolando
:
Passo 5
Sabemos que
é a função degrau unitário, cuja transformada de Fourier é:
Para simplificar, vamos considerar somente a parte de interesse para a solução particular, então usamos:
Passo 6
Substituindo na expressão de
:
Vamos simplificar o denominador:
Passo 7
Para encontrar a transformada inversa, precisamos fatorar o denominador. Vamos reescrever a expressão como:
Podemos reorganizar:
Passo 8
Agora, fatorando a expressão
, buscamos duas raízes que satisfaçam a equação característica associada. Isso pode ser feito resolvendo a equação quadrática:
Resolvendo para
:
Então, as raízes são:
Passo 9
Com as raízes encontradas, podemos reescrever o denominador:
Então, nossa expressão para
fica:
Passo 10
Agora, para encontrar
, precisamos calcular a transformada inversa de
. Utilizando uma tabela de transformadas inversas e aplicando a decomposição em frações parciais, encontramos:
Resposta
A solução particular da equação é: