Determine a solução dos seguintes PVI:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Aqui, identificamos
e
. Para verificar se essa equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Agora, integramos
em relação a
:
Então, a solução geral é:
Passo 4
Aplicamos agora a condição inicial
para encontrar a constante
:
Então, a equação da solução fica:
Resposta
A solução do PVI é dada implicitamente por: