Determine a solução dos seguintes PVI:
(f) x e^(x^2) dx + (y^5 - 1) dy = 0, y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar a solução usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Aqui, identificamos e . Para verificar se essa equação é exata, vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Para encontrar , integramos em relação a :
Fazendo a substituição , temos , então:
Agora, integramos em relação a :
Então, a solução geral é:

Passo 4

Aplicamos agora a condição inicial para encontrar a constante :
Então, a equação da solução fica:

Resposta

A solução do PVI é dada implicitamente por:

Exercícios relacionados