Encontre a solução do problema de condução de calor
ux x & =4 ut, 00 u(0, t) & =0, u(2, t)=0, t>0 u(x, 0) & =2 sen(pi x / 2)-sen pi x+4 sen 2 pi x, 0 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo . A matéria que vamos usar é a equação do calor e técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função inicial em funções básicas (senos) e como cada componente evolui no tempo.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação dada é:
uxx = 4 ut
Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a 4 vezes a derivada de em relação a . Essa é a equação do calor em uma dimensão.

Passo 3

As condições de contorno são e para todo . Isso nos diz que nas bordas e a temperatura é sempre zero. Com essas condições, a solução geral pode ser expressa como uma série de funções seno, porque os senos naturalmente satisfazem essas condições de contorno.

Passo 4

Assumimos uma solução do tipo:
u(x, t) = sumn=1^infty Bn e^-lambdan t sin(n pi x2)
Aqui, são constantes que determinam como cada modo de temperatura decay com o tempo, e são os coeficientes que vamos determinar a partir da condição inicial.

Passo 5

A condição inicial é:
u(x, 0) = 2 sin(pi x2) - sin(pi x) + 4 sin(2 pi x)
Comparando com nossa solução assumida, vemos que:

  • E todos os outros , já que não há outros termos na condição inicial.

Passo 6

Agora, substituímos esses valores de u(x, t) = 2 e^-pi^24 t sin(pi x2) - e^-pi^2 t sin(pi x) + 4 e^-4 pi^2 t sin(2 pi x) e (onde ) na nossa solução:

Resposta

A solução do problema de condução de calor é:
u(x, t) = 2 e^-pi^24 t sin(pi x2) - e^-pi^2 t sin(pi x) + 4 e^-4 pi^2 t sin(2 pi x)

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