Encontre a solução do problema de condução de calor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de condução de calor juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial parcial que descreve como a temperatura
varia no espaço
e no tempo
. A matéria que vamos usar é a equação do calor e técnicas de separação de variáveis e séries de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a função inicial em funções básicas (senos) e como cada componente evolui no tempo.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação dada é:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é igual a 4 vezes a derivada de
em relação a
. Essa é a equação do calor em uma dimensão.
Passo 3
As condições de contorno são
e
para todo
. Isso nos diz que nas bordas
e
a temperatura é sempre zero. Com essas condições, a solução geral pode ser expressa como uma série de funções seno, porque os senos naturalmente satisfazem essas condições de contorno.
Passo 4
Assumimos uma solução do tipo:
Aqui,
são constantes que determinam como cada modo de temperatura decay com o tempo, e
são os coeficientes que vamos determinar a partir da condição inicial.
Passo 5
A condição inicial é:
Comparando com nossa solução assumida, vemos que:
-
-
-
E todos os outros, já que não há outros termos na condição inicial.
Passo 6
Agora, substituímos esses valores de
e
(onde
) na nossa solução:
Resposta
A solução do problema de condução de calor é: