Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano.
f1(x)=x^2, f2(x)=x|x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de matemática onde temos duas funções dadas: e . A gente precisa descobrir se essas funções são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos usar um conceito chamado Wronskiano, que nos ajuda a verificar essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Se elas forem dependentes, uma delas pode ser expressa como múltiplo da outra.

Passo 3

Agora, vamos calcular o Wronskiano das duas funções. O Wronskiano é uma matriz formada pelas funções e suas derivadas. Para duas funções, a fórmula fica assim:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é um pouco mais complicada. Como é igual a para e para , a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz:
Simplificando:
  • Para :
  • Para :

Resposta

O Wronskiano é zero para e para . Como o Wronskiano não é sempre diferente de zero, as funções e são linearmente dependentes.

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