Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano. e
Passo 1
Vamos analisar o que o exercício pede: verificar se as funções , e são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos utilizar o conceito de independência linear e calcular o Wronskiano, que nos ajuda a determinar essa independência.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa funções serem linearmente independentes. Se nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras, elas são independentes. Caso contrário, são dependentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos calcular o Wronskiano das três funções. O Wronskiano é um determinante que, se diferente de zero em algum ponto do domínio, indica que as funções são linearmente independentes nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções:
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, montamos a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:
Passo 6
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Expandindo pelo primeiro elemento:
Passo 7
Calculando cada menor:
Primeiro menor:
Segundo menor:
Terceiro menor:
Passo 8
Substituindo os menores no determinante:
Simplificando:
Resposta
As funções são linearmente independentes, e o Wronskiano é .