Verifique se as funções dadas são linearmente independentes ou dependentes. Calcule o Wronskiano.
f1(x) = x, f2(x) = x ln x e f3(x) = x^2 ln x

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício pede: verificar se as funções , e são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, vamos utilizar o conceito de independência linear e calcular o Wronskiano, que nos ajuda a determinar essa independência.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa funções serem linearmente independentes. Se nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras, elas são independentes. Caso contrário, são dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos calcular o Wronskiano das três funções. O Wronskiano é um determinante que, se diferente de zero em algum ponto do domínio, indica que as funções são linearmente independentes nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, montamos a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:

Passo 6

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Expandindo pelo primeiro elemento:

Passo 7

Calculando cada menor:
  1. Primeiro menor:
  1. Segundo menor:
  1. Terceiro menor:

Passo 8

Substituindo os menores no determinante:
Simplificando:

Resposta

As funções são linearmente independentes, e o Wronskiano é .

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