Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
© y'' + 4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial! Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar soluções para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método dos coeficientes constantes. Isso envolve encontrar a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é dada substituindo por e por 1:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :
Encontramos raízes imaginárias, o que significa que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 5

A solução geral para a equação diferencial com raízes imaginárias é:
No nosso caso, , então a solução geral fica:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeira condição inicial: .

Passo 7

Segunda condição inicial: .
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de :
Agora, aplicamos :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y'' + 2y' = 3 + 4sen(2t).
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b) y'' + y' - 2y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1
Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) y'' + 4y = t^2 + 3e^t, y(0) = 0, y'(0) = 2
s'' + 5s = 0, s(0) = 1, s'(0) = 0
encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.