Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(b)
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem com condições iniciais. Nossa missão é encontrar a função que satisfaz a equação e que passa pelos pontos e . Para isso, vamos precisar conhecer como resolver EDOs lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo na equação diferencial, temos:
Substituindo na equação:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e . Calculando o discriminante:
Assim, as raízes são:
Portanto:
Passo 5
Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 7
Agora, vamos derivar para usar a segunda condição :