Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas, onde precisamos encontrar a solução geral combinando a solução da homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica substituindo por e por , ficando .
Passo 3
Resolvendo a equação característica , fatoramos e temos . Assim, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para que se assemelhe ao lado direito da equação.
Passo 5
Observamos que o lado direito é a soma de uma constante (3) e uma função senoidal . Então, assumiremos , onde , e são coeficientes a serem determinados.