Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y'' + 2y' = 3 + 4sen(2t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais lineares não homogêneas, onde precisamos encontrar a solução geral combinando a solução da homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica substituindo por e por , ficando .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , fatoramos e temos . Assim, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa . Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, assumindo uma forma para que se assemelhe ao lado direito da equação.

Passo 5

Observamos que o lado direito é a soma de uma constante (3) e uma função senoidal . Então, assumiremos , onde , e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação original:

Passo 7

Simplificamos a equação:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 8

Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
E para a parte constante:

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações:
Da segunda equação, ou .
Substituindo na primeira equa��ão:
Então, .

Passo 10

Agora que temos , e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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