Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(b) y'' + 4y = t^2 + 3e^t, y(0) = 0, y'(0) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial linear de segunda ordem. O objetivo é encontrar a solução dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos resolver:
Para resolver isso, vamos dividir o problema em duas partes principais: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar os constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é obtida encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para :

Passo 4

Como as raízes são complexas, , com e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em supor uma forma para baseada na parte não homogênea e determinar os coeficientes.

Passo 6

Vamos dividir o lado direito em duas partes: e . Encontraremos soluções particulares para cada uma e depois somaremos.
Para :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então:

Passo 7

Para :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então:

Passo 8

A solução particular total é a soma das duas soluções particulares:

Passo 9

Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :

Resposta

Portanto, a solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
© y'' + 4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1
Encontre a solução geral da equação diferencial dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y'' + 2y' = 3 + 4sen(2t).
s'' + 5s = 0, s(0) = 1, s'(0) = 0
encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(b) t^2 y'' + 2 t y' - 2 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t.