Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial linear de segunda ordem. O objetivo é encontrar a solução dessa equação usando o método dos coeficientes indeterminados. Precisamos resolver:
Para resolver isso, vamos dividir o problema em duas partes principais: encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar os constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é obtida encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
Escrevemos a equação característica associada:
Resolvendo para :
Passo 4
Como as raízes são complexas, , com e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes indeterminados, que consiste em supor uma forma para baseada na parte não homogênea e determinar os coeficientes.
Passo 6
Vamos dividir o lado direito em duas partes: e . Encontraremos soluções particulares para cada uma e depois somaremos.
Para :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então:
Passo 7
Para :
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando:
Substituindo na equação:
Então:
Passo 8
A solução particular total é a soma das duas soluções particulares:
Passo 9
Agora, a solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Substituindo :
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de :
Substituindo :
Resposta
Portanto, a solução do problema de valor inicial é: