Verifique que as funções dadas y1 e y2 satisfazem a equação homogênea associada, depois encontre uma solução particular da equação não-homogênea dada.
© x^2 y'' - 3x y' + 4y = x^2 ln(x), x > 0 ; y1(x) = x^2, y2(x) = x^2 ln(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai verificar se as funções e realmente satisfazem a equação homogênea associada. Depois, vamos encontrar uma solução particular para a equação não-homogênea . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e métodos para encontrar soluções particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se satisfaz a equação homogênea. A equação homogênea associada é:
Vamos calcular e :
Agora, substituímos na equação homogênea:
Então, satisfaz a equação homogênea.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também satisfaz a equação homogênea. Primeiro, calculamos as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Portanto, também satisfaz a equação homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que e são soluções da equação homogênea, vamos encontrar uma solução particular da equação não-homogênea:
Como o lado direito é , que já é uma das soluções da equação homogênea ( ), precisamos ajustar nossa tentativa para a solução particular. Nesse caso, multiplicamos por para encontrar uma solução que não esteja na solução geral da homogênea. Então, supomos:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo , e na equação não-homogênea:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes devem ser iguais:
Aqui vemos um conflito, indicando que nossa suposição inicial não é suficiente. Portanto, precisamos ajustar nossa tentativa de solução particular para incluir um termo sem o logaritmo. Vamos tentar:

Passo 6

Calculamos novamente as derivadas:
Substituindo na equação não-homogênea:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:

Resposta

A solução particular da equação não-homogênea é .

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