Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integração racional, onde temos um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição simples que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos deixar:
Ao fazer isso, precisamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que . Agora, vamos reescrever o numerador em termos de . Como , temos . Substituindo na expressão:

Passo 3

Agora, substituímos todas essas partes na integral original:
Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de é , onde é a constante de integração.
Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
Lembrando que substituímos , vamos voltar para a variável original :

Resposta

A integral é igual a:

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