Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral:
Aqui, estamos lidando com uma integração racional, onde temos um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição simples que vai simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos deixar:
Ao fazer isso, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
. Agora, vamos reescrever o numerador
em termos de
. Como
, temos
. Substituindo na expressão:
Passo 3
Agora, substituímos todas essas partes na integral original:
Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo:
Passo 5
Agora, somamos as duas integrais:
Lembrando que substituímos
, vamos voltar para a variável original
:
Resposta
A integral é igual a:
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