Calcule a integral.
integral 2 x-3(x-1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral:
integral 2x - 3(x - 1)^3 , dx
Aqui, estamos lidando com uma integração racional, onde temos um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição simples que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Vamos deixar:
u = x - 1
Ao fazer isso, precisamos calcular a derivada de du = dx em relação a 2x - 3 = 2(u + 1) - 3 = 2u + 2 - 3 = 2u - 1 :
Isso significa que . Agora, vamos reescrever o numerador em termos de . Como , temos . Substituindo na expressão:

Passo 3

Agora, substituímos todas essas partes na integral original:
integral 2x - 3(x - 1)^3 , dx = integral 2u - 1u^3 , du
Vamos simplificar a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
2u - 1u^3 = 2uu^3 - 1u^3 = 2u^-2 - u^-3
Então, a integral fica:
integral (2u^-2 - u^-3) , du

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que a integral de integral 2u^-2 , du = 2 cdot u^-1-1 = -2u^-1 = -2u é integral -u^-3 , du = -u^-2-2 = 12u^-2 = 12u^2 , onde é a constante de integração.
Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo:

Passo 5

Agora, somamos as duas integrais:
-2u + 12u^2 + C
Lembrando que substituímos -2x - 1 + 12(x - 1)^2 + C , vamos voltar para a variável original :

Resposta

A integral é igual a:
-2x - 1 + 12(x - 1)^2 + C

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