Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem que é para . Já sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução usando o método de redução de ordem. Isso significa que vamos usar a solução conhecida para achar outra função que também resolve a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o método de redução de ordem. Quando já conhecemos uma solução de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, podemos procurar uma segunda solução na forma , onde é uma função que precisamos encontrar. Esse método simplifica a resolução porque reduz a equação original para uma equação de primeira ordem em termos de .
Passo 3
Vamos assumir que . Agora, precisamos calcular as derivadas de :
Passo 4
Substituímos , e na equação diferencial original:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Distribuindo os termos:
Simplificando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, podemos dividir toda a equação por (já que ) para simplificar:
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem para .
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para resolver essa equação. Seja . Então, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando fator integrante.
Passo 8
Para resolver , vamos reescrever como:
O fator integrante é dado por:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser escrito como:
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante de integração. Então:
Passo 10
Lembrando que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Para simplicidade, podemos considerar (pois a constante pode ser absorvida na solução final):
Passo 11
Agora, voltamos à nossa expressão para :
Como já é uma solução conhecida, a parte não nos dá uma solução nova. Portanto, consideramos apenas o termo: