Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(a) y'' + y' - 2y = 2t, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
E temos as condições iniciais:
Precisamos encontrar a solução geral dessa equação que satisfaz essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, a parte sem o termo :
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, as raízes são e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau em , vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Derivando :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição :
çã
Agora, derivamos para aplicar a condição :
Aplicando :
çã
Resolvendo as Equações 1 e 2:
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Então,

Passo 7

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(b) t^2 y'' + 2 t y' - 2 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t.
s'' + 5s = 0, s(0) = 1, s'(0) = 0
encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período.
Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y'' + 4y = 3 sen(2t) ; y(0) = 2 ; y'(0) = -1
Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^3 cm/s^2. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição s em função do tempo t.
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de 10 cm/s.