Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem:
E temos as condições iniciais:
Precisamos encontrar a solução geral dessa equação que satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, a parte sem o termo :
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Então, as raízes são e .
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau em , vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Derivando :
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar e .
Passo 6
Primeiro, aplicamos a condição :
çã
Agora, derivamos para aplicar a condição :
Aplicando :
çã
Resolvendo as Equações 1 e 2:
Da Equação 1:
Substituindo na Equação 2:
Então,
Passo 7
Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral: