Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d) y'' + 4y = 3 sen(2t) ; y(0) = 2 ; y'(0) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal é o método dos coeficientes indeterminados, que usamos para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares. Vamos precisar entender como separar a solução geral em parte homogênea e particular, e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos dividir a solução geral em duas partes:
  1. Solução da Equação Homogênea ( ): Resolvida associando a equação homogênea .
  2. Solução Particular ( ): Encontrada usando o método dos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea .

Passo 4

Começamos resolvendo a equação homogênea:
A equação característica é:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Agora, encontramos a solução particular para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados e assumimos a forma da solução particular baseada no lado direito da equação. Como temos , que é uma solução da homogênea, multiplicamos por para evitar a duplicação:
onde e são coeficientes a serem determinados.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Simplificando:

Passo 7

Substituímos e na equação diferencial:
Observamos que os termos com se cancelam, restando:

Passo 8

Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição:
Segunda condição:
Calculamos :
Avaliando em :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(a) y'' + y' - 2y = 2t, y(0) = 0, y'(0) = 1
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(b) t^2 y'' + 2 t y' - 2 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t.
Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^3 cm/s^2. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição s em função do tempo t.
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de 10 cm/s.
Resolva pelo método de separação de variáveis:
u_xx + u_yy = 0, u(0, y) = 1, u(pi, y) = 1, u(x, 0) = 0, u(x, pi) = 1