Encontre a solução do problema de valor inicial dado utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo principal é o método dos coeficientes indeterminados, que usamos para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares. Vamos precisar entender como separar a solução geral em parte homogênea e particular, e depois aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a .
Passo 3
Vamos dividir a solução geral em duas partes:
Solução da Equação Homogênea (): Resolvida associando a equação homogênea .
Solução Particular (): Encontrada usando o método dos coeficientes indeterminados para a parte não homogênea .
Passo 4
Começamos resolvendo a equação homogênea:
A equação característica é:
Como as raízes são imaginárias, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Agora, encontramos a solução particular para a equação completa:
Usamos o método dos coeficientes indeterminados e assumimos a forma da solução particular baseada no lado direito da equação. Como temos , que é uma solução da homogênea, multiplicamos por para evitar a duplicação:
onde e são coeficientes a serem determinados.
Passo 6
Calculamos as derivadas de :
Simplificando:
Passo 7
Substituímos e na equação diferencial:
Observamos que os termos com se cancelam, restando:
Passo 8
Igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 10
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .