Encontre a solução dos problemas de valor inicial:
(b) y' + ln(t) y = 0, com y(1) = 1, t > 0 Res: y = t^(-t) * e^(t-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo com a condição inicial . Aqui, estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação no formato padrão . No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é dado por:
Vamos resolver essa integral.

Passo 4

A integral de em relação a é:
Desconsideramos a constante de integração porque ela será absorvida no fator integrante.

Passo 5

Assim, o fator integrante fica:
Simplificamos usando propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente.

Passo 7

A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 8

Onde é a constante de integração.

Passo 9

Isolando , obtemos a solução geral:

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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