Encontre a solução dos problemas de valor inicial:
(b)
, com
Res:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Aqui, estamos lidando com uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação no formato padrão
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Vamos resolver essa integral.
Passo 4
A integral de
em relação a
é:
Desconsideramos a constante de integração
porque ela será absorvida no fator integrante.
Passo 5
Assim, o fator integrante fica:
Simplificamos usando propriedades dos logaritmos e exponenciais.
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que permite integrar facilmente.
Passo 7
A equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 8
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Isolando
, obtemos a solução geral:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: