Em cada um dos itens classifique as equações diferenciais (tipo, ordem e linear/não linear). Depois verifique se as funções dadas são solução da equação diferencial.
© a^2 u_xx = u_tt ; u1(x, t) = e^(lambda x) sen(lambda a t), u2(x, t) = sen(x - a t), lambda uma constante real. Res: EDP linear de segunda ordem. Não. Sim.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) dada por e duas funções e , onde é uma constante real. Nosso objetivo é classificar essa EDP em termos de tipo, ordem e se é linear ou não, e depois verificar se as funções dadas realmente são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDPs e como identificar suas características.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as derivadas envolvidas nessa equação. é a segunda derivada parcial de em relação a , e é a segunda derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos determinar a ordem da EDP. A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da maior derivada presente na equação. Aqui, temos derivadas de segunda ordem tanto em quanto em , então a ordem da EDP é 2.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a EDP é linear ou não linear. Uma EDP é linear se ela pode ser escrita de forma que cada termo envolva ou suas derivadas multiplicadas por funções que dependem apenas de e , mas sem produtos ou funções não lineares de . A equação não tem termos não lineares, então ela é uma equação linear.

Passo 5

Agora, vamos classificar o tipo da EDP. Equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem podem ser classificadas como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo dos coeficientes das derivadas segundas. No nosso caso, temos . Calculamos o discriminante , onde , e . Então, . Como o discriminante é positivo, a EDP é do tipo hiperbólica.

Passo 6

Agora que já classificamos a EDP como linear e de segunda ordem, do tipo hiperbólica, vamos verificar se as funções e são soluções dessa equação.

Passo 7

Primeiro, vamos testar . Precisamos calcular e .
Calculando e .
Calculando e .
Substituindo na EDP:
Isso só é verdadeiro se , o que não acontece para todos os e . Portanto, não é uma solução da EDP.

Passo 8

Agora, vamos testar . Calculamos e .
Primeiro, derivadas parciais:
Substituindo na EDP:
Essa igualdade é verdadeira para todos os e , portanto, é uma solução da EDP.

Resposta

EDP linear de segunda ordem. Não. Sim.

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