Em cada um dos itens classifique as equações diferenciais (tipo, ordem e linear/não linear). Depois verifique se as funções dadas são solução da equação diferencial.
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uma constante real. Res: EDP linear de segunda ordem. Não. Sim.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (EDP) dada por
e duas funções
e
, onde
é uma constante real. Nosso objetivo é classificar essa EDP em termos de tipo, ordem e se é linear ou não, e depois verificar se as funções dadas realmente são soluções dessa equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre EDPs e como identificar suas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as derivadas envolvidas nessa equação.
é a segunda derivada parcial de
em relação a
, e
é a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a ordem da EDP. A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da maior derivada presente na equação. Aqui, temos derivadas de segunda ordem tanto em
quanto em
, então a ordem da EDP é 2.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a EDP é linear ou não linear. Uma EDP é linear se ela pode ser escrita de forma que cada termo envolva
ou suas derivadas multiplicadas por funções que dependem apenas de
e
, mas sem produtos ou funções não lineares de
. A equação
não tem termos não lineares, então ela é uma equação linear.
Passo 5
Agora, vamos classificar o tipo da EDP. Equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem podem ser classificadas como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas, dependendo dos coeficientes das derivadas segundas. No nosso caso, temos
. Calculamos o discriminante
, onde
,
e
. Então,
. Como o discriminante é positivo, a EDP é do tipo hiperbólica.
Passo 6
Agora que já classificamos a EDP como linear e de segunda ordem, do tipo hiperbólica, vamos verificar se as funções
e
são soluções dessa equação.
Passo 7
Primeiro, vamos testar
. Precisamos calcular
e
.
Calculando
e
.
Calculando
e
.
Substituindo na EDP:
Isso só é verdadeiro se
, o que não acontece para todos os
e
. Portanto,
não é uma solução da EDP.
Passo 8
Agora, vamos testar
. Calculamos
e
.
Primeiro, derivadas parciais:
Substituindo na EDP:
Essa igualdade é verdadeira para todos os
e
, portanto,
é uma solução da EDP.
Resposta
EDP linear de segunda ordem. Não. Sim.