Escreva uma equação diferencial da forma dy/dt = a*y + b cujas soluções têm o comportamento descrito quando t -> infinito :
(b) Todas as outras soluções se afastam de y = 1 / 3. Res: y' = 3y - 1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de primeira ordem. O enunciado pede para encontrar uma equação da forma que tenha um comportamento específico: todas as soluções, quando , se afastam de . Para isso, vamos precisar entender como identificar pontos de equilíbrio e determinar a estabilidade dessas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto de equilíbrio da equação diferencial. O ponto de equilíbrio ocorre quando , ou seja, onde a solução não muda com o tempo. Vamos resolver para :

Passo 3

Resolvendo a equação acima para , temos:
Este é o ponto de equilíbrio da equação diferencial.

Passo 4

Sabemos pelo enunciado que queremos que todas as soluções se afastem de . Isso significa que deve ser o ponto de equilíbrio. Igualando os dois valores:

Passo 5

Resolvendo a equação para encontrar uma relação entre e :
Portanto, é igual a .

Passo 6

Para que as soluções se afastem do ponto de equilíbrio quando , o coeficiente deve ser positivo. Isso garante que as soluções divergem do ponto de equilíbrio.
Vamos escolher para simplificar, então:

Resposta

A equação diferencial que atende às condições do enunciado é:

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