Escreva uma equação diferencial da forma
cujas soluções têm o comportamento descrito quando
:
(b) Todas as outras soluções se afastam de
. Res:
.
(b) Todas as outras soluções se afastam de
Passo 1
Vamos resolver um exercício de equações diferenciais, especificamente uma equação diferencial linear de primeira ordem. O enunciado pede para encontrar uma equação da forma
que tenha um comportamento específico: todas as soluções, quando
, se afastam de
. Para isso, vamos precisar entender como identificar pontos de equilíbrio e determinar a estabilidade dessas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o ponto de equilíbrio da equação diferencial. O ponto de equilíbrio ocorre quando
, ou seja, onde a solução não muda com o tempo. Vamos resolver para
:
Passo 3
Resolvendo a equação acima para
, temos:
Este
é o ponto de equilíbrio da equação diferencial.
Passo 4
Sabemos pelo enunciado que queremos que todas as soluções se afastem de
. Isso significa que
deve ser o ponto de equilíbrio. Igualando os dois valores:
Passo 5
Resolvendo a equação para encontrar uma relação entre
e
:
Portanto,
é igual a
.
Passo 6
Para que as soluções se afastem do ponto de equilíbrio
quando
, o coeficiente
deve ser positivo. Isso garante que as soluções divergem do ponto de equilíbrio.
Vamos escolher
para simplificar, então:
Resposta
A equação diferencial que atende às condições do enunciado é: