Encontre a solução dos problemas de valor inicial:
. Res:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente as equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação para facilitar a integração. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Vamos calcular a integral de
. Sabemos que:
Como estamos encontrando um fator integrante, podemos ignorar a constante de integração. Então:
Simplificando
, lembrando que
, temos:
Portanto:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Isso acontece porque o lado esquerdo se tornou a derivada do produto
.
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então:
Passo 9
Substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.