Encontre a solução dos problemas de valor inicial:
b y' + ln(t) y = 0, com y(1) = 1, t > 0. Res: y = t^(-t) * e^(t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso faz parte da matéria de equações diferenciais, especificamente as equações lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação para facilitar a integração. O fator integrante é dado por:
Substituindo , temos:

Passo 4

Vamos calcular a integral de . Sabemos que:
Como estamos encontrando um fator integrante, podemos ignorar a constante de integração. Então:
Simplificando , lembrando que , temos:
Portanto:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Isso acontece porque o lado esquerdo se tornou a derivada do produto .

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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