Resolva as seguintes equações diferenciais:
d y' - 2 y = t^2 e^(2 t) Res: y = C e^(2 t) + t^(3) e^(2 t) / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: . Vamos resolver isso usando o método dos fatores integrantes, que é uma técnica bacana para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão . No nosso caso, isso fica assim:

Passo 3

Agora, a gente calcula o fator integrante . Ele é dado por:
Esse fator vai ajudar a gente a simplificar a equação.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 5

Com essa multiplicação, o lado esquerdo da equação vira a derivada de :
Isso ocorre porque aplicamos a regra do produto na derivação.

Passo 6

Agora, a gente integra ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, resolvemos para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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