Resolva as seguintes equações diferenciais:
. Res:
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a equação diferencial
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, que são equações que envolvem uma função desconhecida e suas derivadas. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação:
. Isso significa que a derivada de
em relação a
, menos
iguala a zero. Podemos reescrever isso como
. Agora, a gente precisa encontrar uma função
cuja derivada seja igual a ela mesma.
Passo 3
Sabemos que a função exponencial tem a propriedade de que a sua derivada é ela mesma. Ou seja, se
, então
. Queremos que
, então:
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), temos:
Isso significa que a constante
deve ser igual a 1 para que a derivada seja igual à própria função.
Passo 5
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.